Medida de Gibbs

Em matemática, a medida de Gibbs, em homenagem a Josiah Willard Gibbs,^[1][2] é uma medida de probabilidade vista com freqüência em muitos problemas de teoria da probabilidade e mecânica estatística.^[3] É uma generalização do conjunto canônico para sistemas infinitos. O conjunto canônico dá a probabilidade do sistema ${\displaystyle X}$ estar no estado ${\displaystyle x}$ (equivalentemente, da variável aleatória ${\displaystyle X}$ ter valor ${\displaystyle x}$) como:

${\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x))}$.

Aqui, E(x) é uma função a partir dos espaços de estados para os números reais; em aplicações da física, E(x) é interpretada como a energia da configuração x. O parâmetro β é um parâmetro livre; na física, é a temperatura inversa. A constante de normalização Z(β) é a função de partição. No entanto, em sistemas infinitos, a energia total não é mais um número finito e não pode ser usado na construção tradicional da distribuição de probabilidade de um conjunto canônico. As abordagens tradicionais em física estatística estudaram o limite de propriedades intensivas conforme o tamanho de um sistema finito se aproxima do infinito (o limite termodinâmico). Quando a função energética pode ser escrita como uma soma de termos, cada um envolvendo apenas as variáveis de um subsistema finito, a noção de medida de Gibbs fornece uma abordagem alternativa. Medidas de Gibbs foram propostas por teóricos de probabilidade como Dobrushin, Lanford, e Ruelle e forneceu uma base para estudar diretamente sistemas infinitos, em vez de usar o limite de sistemas finitos.

Uma medida é uma medida de Gibbs se as probabilidades condicionais que ela induz em cada subsistema finito satisfaçam uma condição de consistência: se todos os graus de liberdade fora do subsistema finito são congelados, o conjunto canônico para o subsistema sujeito a estas condições de contorno corresponde à probabilidades na medida de Gibbs condicional aos graus de liberdade congelados.

O teorema de Hammersley–Clifford implica que qualquer medida da probabilidade que satisfaça a propriedade de Markov é uma medida de Gibbs para uma escolha apropriada (definidas localmente) de função energética. Portanto, a medida de Gibbs aplica-se a um grande número de problemas de física, tais como redes de Hopfield, redes de Markov, lógica de redes de Markov, e jogos potenciais racionais em teoria dos jogos e economia. Uma medida de Gibbs em um sistema com interações locais (gama finito) maximiza a densidade de entropia para uma dada densidade de energia esperada; ou, equivalentemente, minimiza a densidade de energia livre.

A medida de Gibbs de um sistema finito não é necessariamente única, em contraste com o conjunto canônico de um sistema finito, que é único. A existência de mais de uma medida de Gibbs está associada a fenômenos estatísticos, tais como quebra de simetria e a coexistência de fase.